2020-06-13计算机图形学 0次访问

辐射度量学(Radiometry)

ps: Thumbnail 《乔乔的奇妙冒险》。

我们已经知道对于Blinn-Phong这样的光照模型，它们非常的感性，其中定义的参数不精确其数值也无法给出具体的物理单位，因此这样的方法不太”物理”，要想得到更真实基于物理的效果那么就应该有一套更好的方法来定义参数——而辐射度量学就是一个精确定义实际光的一系列物理量的方法。

在今后会介绍的各种”高级”的光线追踪(区别于Whitted风格的光线追踪)都是建立在辐射度量学的基础之上。

辐射度量学

辐射度量学描述了如何去定义光照，它是一个在物理上准确定义光照的方法。
辐射度量学定义了一些列描述光照的方法和单位。
辐射度量学依旧是基于几何光学的，依然不考虑光的波动性。

光照相关单位及其换算

光通量有关的单位

注意辐射通量和光通量不同，辐射通量是代表物理上的总功率，而被人眼感觉的那部分被称为光通量。

流明（Lm）是光通量的单位；光源在单位时间、向周围空间辐射并引起视觉的能量，称为光通量。在物理系统中，光通量采用积分球方式，测量光源在立体角元内发出的光。

1流明=发光强度为1坎德拉的点光源，在单位立体角内发射的光通量(1坎德拉的点状光源所发出的总光通量为4π流明。)

而我们通常所感知到的“亮度”，确切来说应该称之为“照度”，照度是被照物表面在单位面积上受到的光通量，单位是勒克斯（Lux）。

照度与流明的关系是：
勒克斯=光通量/受照面积。

光通量（流明）是立体概念，而照度是对平面而言。

更通俗的解释:光通量相当于水流量，水流量是一秒钟流出、流过或流入多少水，光通量（流明）则是一秒钟流出、流过或流入多少光。光照度相当于一平方米的面积上流入多少流明的光。

光通量、光强、亮度和照度的关系简单归纳如下：光通量除以单位立体角等于光强（1 lm / sr =1 cd）；光通量除以单位面积等于照度（1 lm/m2=1 lx），光强除以单位面积等于亮度（1 cd/m2）。

更多单位

来源:维基百科

Radiant Energy and Flux (Power)

辐射能(Radiant energy) $Q$ ：电磁辐射(electromagnetic radiation)的能量，单位是焦耳 $J$ ，用符号表示(很少用在计算机图形学中)：$$Q [J = Joule]$$

辐射通量(Radiant flux)或功率(power) $\Phi$ ：单位时间 释放(emitted)、反射(emitted)、透射(transmitted)或接受(received)的能量。单位是 $W$(瓦特) 或 $lm$(流明)。$$ \Phi \equiv \frac {dQ} {dt} [W = Watt] [lm = lumen]^*$$

通俗的理解:对于功率来说它对应着一个灯泡有多亮，功率越高灯泡越亮，而开的时间越长电费越多(这对应着上面的能量)。

Radiant Intensity

辐射强度(Radiant Intensity) $I$：辐射(发光)强度是在单位立体角(solid angle)内由点光源发出的功率(power)。$$ I(\omega) \equiv \frac {d\Phi} {d\omega} [\frac {W} {sr}] [\frac {lm} {sr} = cd = candela]$$

微分立体角

对于立体角类比于二维情况下定义弧度(弧度=弧长/半径)其定义为：立体角=面积/半径的平方。

根据上图及上面关于立体角的定义我们可以得到立体角的微分定义为:
$$d \omega = \frac {d A} {r^2} = \sin \theta d \theta d \phi$$其中:
$$dA = (rd\theta)(r\sin \theta d\phi) = r^2\sin \theta d\theta d\phi$$
如果把上面的微分立体角对于整个球面积分：

\begin{aligned} \Omega & = \int_{S^2} \, {\rm d}\omega \\ & = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \sin \theta \,{\rm d}\theta {\rm d}\phi \\ & = 4 \pi \end{aligned}

进一步的，假设一个点光源朝着四周均匀的辐射出能量，那么可以得到下面的式子：

\begin{aligned} \Phi = \int_{S^2} I \, {\rm d}\omega = 4 \pi I \end{aligned}

所以有:$$I = \frac {\Phi} {4\pi}$$

Irradiance

辐照度(Irradiance) $E$ ：辐照度是每(垂直/投影)单位面积入射到一个表面上一点的辐射通量(功率power)。单位：lux，照度(勒克斯)$$E(x) \equiv \frac {d\Phi(x)} {dA} [\frac {W} {m^2}] [\frac {lm} {m^2} = lux]$$
解释：E(x) = 在x点的辐射通量(功率)/单位面积。
注意这里的power是垂直于表面方向光线的power，如果光线和表面不垂直，那么需要通过乘一个余弦值投影到垂直方向上。

解释Blinn Pong模型相关原理

Lambert Cosine Law

Lambert Cosine Law描述的是理想情况下，漫反射效果是和光线方向和物体表面法线方向成正比的。这个是之前在Blinn Pong模型的漫反射部分见过的定理。那么现在用刚刚了解到的Irradiance来解释的话，就是Irradiance描述了单位面积接收到的光通量(显然Irradiance越大显然光到着色点的能量也是越大的)，定义Irradiance的power是来自垂直于物体表面方向的光的，其它方向的power都必须转换到这个方向上来。

Irradiance Fallof

在之前的Blinn Pong模型中我们知道随着距离的增加，光到达着色点的能量会不断的衰减。我们同样也可以使用Irradiance来解释这个现象。如上图所示，假设光辐射是均匀的，光一圈圈的向外传播，那么在某一时刻的圈上其Irradiance的公式如上图$E’$所示,显然Irradiance随着r的变大是会减小的，而$\Phi$ (Intensity)是不变的，因为随意的画一个锥(如图两根红线)，随着光的传播，这个锥越传播越大，但可以发现不管光传播到哪里它的方向角是没变的

Radiance

辐射(Radiance)或亮度(luminance) $L$：是指一个表面在每单位立体角、每单位投影面积上所发射(emitted)、反射(reflected)、透射(transmitted)或接收(received)的辐射通量(功率)。单位: 尼特(nit)。

\begin{aligned} L(p,\omega) \equiv \frac {d^2 \Phi(p,w)} {d\omega dA \cos \theta} [\frac {W} {sr \, m^2}] [\frac {cd} {m^2} = \frac {lm} {sr \, m^2} = nit] \end{aligned}

解释:L(p,w) = 在p点，$\omega$立体角的辐射通量 / (微分立体角垂直于表面法线方向分量*微分表面)。

总结和对比

辐射强度(Radiant Intensity)、辐照度(Irradiance)、辐射(Radiance)三者关系：

辐射强度：单位立体角的辐射通量。
辐照度：单位投影面积的辐射通量。
辐射：单位投影面积的辐射强度或者是单位立体角的辐照度(单位立体角、单位投影面积的辐射通量)

Incident Radiance

入射辐射(Incident Radiance)：指到达表面的单位立体角的辐照度(Irradiance)。Iraddiance考虑从四面八方进来被$dA$收到的能量，而Radiance只考虑从某一个方向进来被$dA$收到的能量。从这里也可以看出Radiance和Iraddiance的差别在于前者有方向后者无方向。

\begin{aligned} L(p,\omega) = \frac {dE(p)} {d\omega \cos \theta} \end{aligned}

解释：沿着$\omega$方向进到p点的Radiance = p点的Irradiance / 微分立体角垂直于表面法线方向分量。

Exiting Radiance

出射辐射(Exiting Radiance)：离开表面的单位投影面积的辐射强度。这里的出射幅度考虑的是朝某一个方向辐射出去的能量是多少，例如：对于面光(area light)，它是沿着给定光线发射的光(出射方向指向表面)。

\begin{aligned} L(p,\omega) = \frac {dI(p,\omega)} {dA \cos \theta} \end{aligned}

解释：沿着$\omega$方向出去的Radiance = 从p点沿着w方向射出的Intensity / 面积沿着$\omega$方向的分量。

总结
对于一个小面从哪个方向接收的能量我们可以用Radiance和Irradiance的关系解释，而对于一个小面沿着哪个方向辐射出去多少能量，可以用Radiance和Intensity之间的关系进行解释。

Irradiance&Radiance

Irradiance：在面积$dA$ 的总辐射通量。
Radiance：在面积$dA$,方向 $d \omega$ 上的辐射通量。

根据以上的描述，我们可以知道在p点收到的所有能量$E(p)$等于从各个方向收到的能量$dE(p,\omega)$之和。

\begin{aligned} dE(p,\omega) = L_i(p,\omega) \cos \theta d \omega \end{aligned}

对两边同时积分可得:

\begin{aligned} E(p) = \int_{H^2} L_i(p,\omega) \cos \theta \, {\rm d}\omega \end{aligned}

注意:
在本文中并不是所有的都是“等于号 $=$ ”还有“恒等于$\equiv$”，请注意区分。

等于说明在某些条件下才相等，而恒等于说明在任何条件下都相等。例如：比如ax=2，在a=1时，x=2是等于。x恒等于2就是在任何情况下x都等于 2，相当于本身就不是一个变量就是一个常量。

参考资料

#计算机图形学光线追踪