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Convolution

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Convolution

定义：卷积操作即接受两个函数，并将它们组合起来生成一个新函数。$a与b$ 的卷积记为$a \star b$。

卷积 $a \star b$ 的理解视角：

带权的moving average：第一种视角即卷积后的函数每个位置的值是通过计算$a$函数一定范围内以$b$为权值的加权平均；
Sum of Shifted Filters：第二种视角则是把$b$在$a$的每个有效取值处复制一份，并且该复制整体乘以该处位置$a$函数的取值，最终卷积的结果则是这些所有用a加权后b的复制的叠加。

卷积的性质：

补充：函数和identity filter进行卷积等于函数本身。

通过利用上面的性质，有时可以提升计算效率。

离散卷积
公式：
$$(a \star b)[i]= \sum_{j=i-r}^{i+r} a[j]b[i - j]$$

identity filter：$d[i] = . . . , 0, 0, 1, 0, 0, . . .$

连续卷积
公式：
$$(f*g)(x)= \int _ {-\infty }^ {+\infty } f(t)g(x-t)dt$$

identity filter：

离散-连续卷积
公式：
$$(a \star f)(x) = \sum_{i= \left \lceil x-r \right \rceil}^{\left \lfloor x+r \right \rfloor} a[i]f(x - i)$$

注意这里和离散卷积不一样，这里filter的取值范围为 $|x - i| < r$。

二维卷积

可以用与一维情况相同的方式来解释：每个输出样本都是输入区域的加权平均值，使用2D滤波器（filter）作为“掩码”来确定每个样本在平均值中的权重。

Convolution Filters

下面的每个过滤器都有一个自然半径（natural radius）（除了Gaussian filter），当样本间隔为一个单位时，该半径是用于采样或重建的默认大小。

一些应用场景需要不同大小的过滤器，可以通过缩放基本过滤器来获得：
$$
f_s(x) = \frac{f(x/s)}{s}
$$
一个自然半径为r的过滤器，在尺度s下使用则半径为sr。

一些Convolution Filters

Box Filter的自然半径是 0.5，Tent Filter是 1 ，Gaussian Filter没有自然半径，B-Spline Cubic Filter是 2。

Properties of Filters

当连续filters用于从离散序列重建连续函数时，如果所得到的函数与采样点处的样本值完全相同，则该连续过滤器是interpolating。也就是说如果filters $f$ 是interpolating，那么$f(0) = 1 , 在所有非0的整数下标 i 处，f(i) = 0$。
有负值的filters在过滤或者重建信号剧烈不连续位置时会产生overshoot：即在被过滤函数值的急剧变化周围产生额外的值振荡：

如上图所示是Catmull-Rom filter过滤step function后产生的结果。
当用作重建滤波器时，如果连续滤波器将常数序列重构为常数函数，则该连续滤波器是ripple free。上面介绍的filters中，除了高斯滤波外，其余的滤波在其自然半径的情况下都是ripple free。

*补充*：消除离散-连续卷积的ripple： $$ (\overline{a \star f})(x) = \frac{\sum_i a[i]f(x-i)}{\sum_i a[i]} $$
滤波器的连续程度：即不同的滤波器有着 $不连续， C^0 连续，C^1 连续，C^2 连续$ 等连续程度，值得注意的是重建出来的函数继承了滤波器的连续性。

Separable Filters

通常任意的2D函数可以成为一个2D filter，但是大多数情况下，可以从1D filters来构建合适的2D filter，separable filter就是这样的一种方法：
$$
f_2(x,y) = f_1(x)f_1(y)
$$

$$
b_2[i,j] = b_1[i]b_1[j]
$$
例如2D的tent filter，Gaussian filter等就是这么构造的。
separable filter的主要优势在于其实现的效率，对于如下的离散卷积：
$$
(a \star b_2)[i,j] = \sum_{i’}\sum_{j’}a[i’,j’]b_1[i-i’]b_1[j-j’]
$$
可以先计算所有要用到的$S[i’]$，然后将结果存下来，这样就不用多次反复的计算相同的$S[i’]$：
$$
S[i’]=\sum_{j’}a[i’,j’]b_1[j-j’]
$$
再计算离散卷积：
$$
(a \star b_2)[i,j] = \sum_{i’}b_1[i-i’]S[i’]
$$
这样可以把计算复杂度重$O(r^2)$减少到$O(r)$。

两个Separable Filters例子：